Para definir la semántica, poder hablar de significado, de verdad o falsedad debemos incursionar en el concepto de interpretación. Básicamente se trata de asociar elementos del lenguaje con objetos y relaciones en algún dominio.
Una interpretación I de un lenguaje de primer orden consiste de:
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Un conjunto no vacío D, que se denomina dominio de la interpretación.
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A cada símbolo de constante un elemento distinguido del dominio D.
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A cada símbolo funcional fin una función f :
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A cada símbolo predicativo Pin una relación
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La interpretación permite la asignación de valores de verdad (verdadero/falso) a un conjunto de fórmulas. Por ejemplo, dada la fórmula:
Podríamos hacer la siguiente interpretación: D como los números enteros, P11 el predicado ser múltiplo de dos y P21 ser múltiplo de seis. La fórmula entonces significa que para todo número entero si es múltiplo de dos entonces es múltiplo de seis, lo cual es falso. Pero si invertimos la asignación de los predicados nos queda: para todo número entero si es múltiplo de seis entonces es múltiplo de dos, lo cual es verdadero.
Si una interpretación satisface el conjunto de fórmulas, esto es, las hace verdaderas, entonces dicha interpretación se dice que es un modelo. En el ejemplo, la segunda interpretación es un modelo.
Se dice que una wff es insatisfacible si es falsa en toda interpretación y es satisfacible si es verdadera en al menos una interpretación.
Dadas las definiciones de interpretación y satisfacción de una wff, entonces podemos definir consistencia:
Un conjunto de wff S es consistente, si y sólo si sus fórmulas son verdaderas en alguna interpretación
Sea S un conjunto de fórmulas y F una wff de la LPO, decimos que F es consecuencia lógica de S y lo notamos {S} |= F si: para toda interpretación I tal que I es modelo de S entonces I es modelo de F. En este caso, nos estamos moviendo en el campo de la semántica, es decir no de la deducción sintáctica sino del significado. Como en el cálculo proposicional podemos decir que:
{S} |- A <=> {S} |= A
Si consideramos a las fórmulas verdaderas en toda interpretación como tautologías, podemos decir que toda tautología es un teorema y todo teorema es una tautología.